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322.パスカルの三角形拡張について  
名前:アンタレス    日付:2019/1/10(木) 13:55
初めて書き込ませて頂きます。アンタレスと申します。
パスカルの三角形のお話、面白く読ませて頂きました。「カトウの三角錐」は「パスカルのピラミッド」「パスカルの四面体」と呼ばれているようです。
パスカルの三角形の4段目の1,4,6,4,1は正四面体の頂点、辺、面の数に一致します。両端の1は全体集合と空集合でしょうか。2段目の1,2,1は線分の端点の数、3段目の1,3,3,1は正三角形の辺と頂点の数、5段目の1,5,10,10,5,1は正五胞体の頂点、辺、面、胞の数に一致します。全体として、各次元の正単体の要素数に一致します。
カトウの三角錐の1段目は三つの1から成る正三角形ですが、これを段ごとに合計すると1,2となり、2は線分の端点の数です。2段目は三つの1と三つの2から成る正三角形ですが、これを段ごとに合計すると1,4,4となり、4,4は正方形の頂点と辺の数です。3段目は三つの1と六つの3、一つの6から成る正三角形ですが、これを段ごとに合計すると1,6,12,8となり、6,12,8は正六面体(立方体)の面、辺、頂点の数であり、正八面体の頂点、辺、面の数でもあります。全体として、カトウの三角錐は各次元の立方体と正軸体の要素数を表しています。
何かのご参考になれば幸いです。

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