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255.2次関数の解  
名前:Color-Cube    日付:2012/9/16(日) 23:20
私も高校生の時に、「放物線が虚数解を持つなら、それをグラフ化したらどうなるだろうか」と考え、複素数平面の原点に垂直にy軸を立ててグラフ化したことがあります。
複素数平面の実軸とy軸がなす平面が、通常のX-Y平面で、放物線とy=0の直線の交点が、2次関数の解となりますが、放物線の頂点がy=0の直線に交わったり接したりしないと、実数解を持たなくなります。
しかし、i^2=-1のため、虚数軸でy=x^2のグラフを書くと、実数軸の放物線と頂点を共有して、正負が逆で、放物線の平面が直交する共役な放物線が存在し、y=0の平面に交差した場所の虚数解を持つことがわかりました。頂点がy=0の平面に接している場合は、実数の放物線の頂点と虚数の放物線の頂点が重なるため、実数解1つ+虚数解1つ(どちらも同じ値だが)を持つわけです。
しかし、この考えには問題点があります。実数や純虚数の2乗は良いですが、一般的な複素数(実数+虚数)では、yも複素数になるため、グラフが描けません。例えば(1+i)^2=2iになり、yは実数軸でなく虚数軸となり、複素数の2乗は4次元空間でなければ、そのグラフを描けなくなります。
実数=虚数の複素数は、2乗するyの虚数軸に対して2倍化された放物線を描きます。
つまり、解だけを複素数として考える分には良いのですが、関数の変数も複素数と考えると、かなり複雑になります。例えば、y=x^2-iなども考えれば、y軸にも虚数軸が必要となり、3次元でのグラフ化ができないのです。(y軸のiを切り替えての空間表示になる)
複素数平面では乗算は回転になりますから、乗算を繰り返すべき乗は円運動になります。そのたびにy値が増加すれば、確かにy軸に沿ったらせんの動きとなりますね。

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