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思索の掲示板

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322.パスカルの三角形拡張について 返信  引用 
名前:アンタレス    日付:2019/1/10(木) 13:55
初めて書き込ませて頂きます。アンタレスと申します。
パスカルの三角形のお話、面白く読ませて頂きました。「カトウの三角錐」は「パスカルのピラミッド」「パスカルの四面体」と呼ばれているようです。
パスカルの三角形の4段目の1,4,6,4,1は正四面体の頂点、辺、面の数に一致します。両端の1は全体集合と空集合でしょうか。2段目の1,2,1は線分の端点の数、3段目の1,3,3,1は正三角形の辺と頂点の数、5段目の1,5,10,10,5,1は正五胞体の頂点、辺、面、胞の数に一致します。全体として、各次元の正単体の要素数に一致します。
カトウの三角錐の1段目は三つの1から成る正三角形ですが、これを段ごとに合計すると1,2となり、2は線分の端点の数です。2段目は三つの1と三つの2から成る正三角形ですが、これを段ごとに合計すると1,4,4となり、4,4は正方形の頂点と辺の数です。3段目は三つの1と六つの3、一つの6から成る正三角形ですが、これを段ごとに合計すると1,6,12,8となり、6,12,8は正六面体(立方体)の面、辺、頂点の数であり、正八面体の頂点、辺、面の数でもあります。全体として、カトウの三角錐は各次元の立方体と正軸体の要素数を表しています。
何かのご参考になれば幸いです。



323.Re: パスカルの三角形拡張について
名前:加藤一郎    日付:2019/1/20(日) 9:8
アンタレス様

貴重な情報をありがとうございました!
なるほど、「パスカルの四面体」というものが既に存在していたのですね。
まあ、私が思いつくようなものは、数百年前の天才たちがとうに発見していてもぜんぜん不思議じゃないですよね(苦笑)。

>全体として、カトウの三角錐は各次元の立方体と正軸体の要素数を表しています。
不勉強でお恥ずかしいのですが、正軸体というものも知らなかったので、これから勉強させてもらいます。

ちなみに、「パスカルのピラミッド」という表現はちょっと語弊がありそうですね。
何故なら、ピラミッドの底は三角形ではなくて正方形だから・・・(苦笑)。


324.Re: パスカルの三角形拡張について
名前:アンタレス    日付:2019/1/26(土) 15:5
加藤一郎様

ありがとうございます。確かに「ピラミッド」はおかしいですね。ピラミッドは正八面体の上半分ですから。
普通、サイコロが角(かど)で立つことはないので、どうしても寝た形で考えてしまい、「8個の頂点は上の4個と下の4個、12本の辺は上中下4本ずつ、6枚の面は上1枚、中4枚、下1枚に分けられる」と考えがちですが、あえて頂点で立ったサイコロを考えると「8個の頂点は一番上の1個、上方の3個、下方の3個、一番下の1個、12本の辺は上の3本、中の6本、下の3本、6枚の面は上の3枚、下の3枚」となり、カトウの三角錐通りになります。逆に正八面体は上半分がピラミッドなので、どうしても頂点で立った形を考えがちですが、あえて寝た形で考えるとカトウの三角錐通りになります。面白いですね。


325.Re: パスカルの三角形拡張について
名前:加藤一郎    日付:2019/1/28(月) 14:2
>あえて寝た形で考えるとカトウの三角錐通りになります。面白いですね。

なるほど!
別のページに書いた「色の立方体」での手法と同じですね!
こんな所で、まったく別のテーマで書いた話題が繋がるなんて、
実に愉快な気分です。
興味深いお話、ありがとうございました!


328.Re: パスカルの三角形拡張について
名前:アンタレス    日付:2019/2/10(日) 12:13
細かい話ですが、昔は「パスカルの三角形」は二つ並んだ1を最上段にしていたように思います。実際、古い本を見直すとそうなっています。ところが最近は、たった一つの1が最上段で、二つ並んだ1は第二段とするようです。たった一つの1は (a + b)^0 = 1 に対応します。
カトウの三角錐も、(a + b + c)^0 = 1 に対応するたった一つの1を最上段とすべきかもしれません。私は実物を見たことはありませんが、アメリカの1ドル紙幣ではピラミッドの上に目玉が描かれているそうです。このたった一つの1は、神様の目玉かもしれませんね。


329.Re: パスカルの三角形拡張について
名前:加藤一郎    日付:2019/2/10(日) 17:18
なるほど。頂点部分の値ですか!
これはまったくノーケアでした。
なかなか面白いテーマですね。

パスカルの三角形の左右の斜辺は、それぞれaとbの最大次数であると認識しています。
そうなるとこの頂点部分は、一体何を表しているのだろう・・・。

確かに(a+b)^0は1ではありますが、パスカルの三角形は、
「式の値」ではなく「各項の係数値」を表しているのですから、
式の値が1だから頂点にも1を書くべきだ、
と結論付けるのは、私にはちょっと違和感があります。

もし頂点にも1を書くものだとすれば、
何かもっと別の根拠が存在している気がしています。


330.Re: パスカルの三角形拡張について
名前:アンタレス    日付:2019/2/10(日) 19:29
はい、私も初めは違和感を覚えましたが・・
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 は馬鹿丁寧に書けば 1a^2b^0 + 2a^1b^1 + 1a^0b^2 です。
(a + b)^1 = a + b は馬鹿丁寧に書けば 1a^1b^0 + 1a^0b^1 です。同様に
(a + b)^0 = 1 の1は、馬鹿丁寧に書けば 1a^0b^0 であり、1を係数と見て差し支えないと思います。


331.Re: パスカルの三角形拡張について
名前:加藤一郎    日付:2019/2/10(日) 20:25
> (a + b)^0 = 1 の1は、馬鹿丁寧に書けば 1a^0b^0 であり、
> 1を係数と見て差し支えないと思います。
なるほど!
そういうことだったんですね。
これは素晴らしく、そして美しい。
激しく納得しました!!

早速、ページの図表も改定した方が良いと思いましたが、
前後の説明文の関係もあるので、少々お時間をください。

326.シルエット・パズル 返信  引用 
名前:黒水仙    日付:2019/2/9(土) 13:21
最初の T がどうしても組み立てられません。(全員)ご教示いただけないでしょうか?



327.Re: シルエット・パズル
名前:加藤一郎    日付:2019/2/10(日) 10:38
黒水仙さん

ご記帳、ありがとうございます。
掲示板で解答すると、ネタバレになってしまうので、
先程、メールいたしました。

320.同窓会に出た 返信  引用 
名前:井上 正之    日付:2018/11/4(日) 1:3
今日、42年ぶりに高校の同窓会に出て、加藤の話を聞いた。
ブログ読んだよ。たいへんだったんだね。
久しぶりに会いたくなった。
連絡先教えてください。



321.Re: 同窓会に出た
名前:加藤一郎    日付:2018/11/4(日) 20:3
おおっ!懐かしい。
井上!元気か!!
声を掛けてくれてありがとう。

この歳になっても、時折あの日々を思い出す。
ぜひ、会おうではないか。

メールしてください。
kato@my.zaq.jp

318.案内行ってますよね〜 返信  引用 
名前:西田徹二    日付:2018/10/10(水) 22:6
土曜日宜しくね!



319.Re: 案内行ってますよね〜
名前:加藤一郎    日付:2018/10/15(月) 1:24
おぅ!
また逢いましょう!

310.13日の金曜日の謎 返信  引用 
名前:PT2K    日付:2017/9/19(火) 19:1
とってもご無沙汰しております
私は暦(こよみ)というものが結構好きでして、この度ちょっとした考察を発表したものですから、厚顔顧みず宣伝に及んだ次第です
掲示板を私物化してしまって申し訳ありません

「13日の金曜日の謎」

http://pt2k.xii.jp/doc/calender-mystery/



311.Re: 13日の金曜日の謎
名前:加藤一郎    日付:2017/9/20(水) 22:44
PT2Kさん、お久しぶりです!

「13日の金曜日の謎」
拝読いたしました。
とぉ〜ても面白かったです!
もう、随所にPT2Kさんの閃きがあって、瞬きするのも忘れて読んでました(笑)。

>「31日の△曜日」は毎年必ず1つだけ存在しない
これは、本当に驚愕の事実ですね!
PT2Kさんの様に実際に検証してみないと、
とても常人では直感的にはたどり着けない結果だと思いました。

ちなみに、PT2Kさんが導いた曜日不在リストを眺めていたら、
面白いことに気付きました。

「平年の31日不在曜日は、その年の元日の曜日から1つだけ前にずれている」
例えば、
元日が(火)なら不在曜日は(月)、
元日が(金)なら不在曜日は(木)

そして、
「閏年の31日不在曜日は、その年の元日の曜日と等しい」


312.恐れ入りました
名前:PT2K    日付:2017/9/21(木) 19:53
加藤さん、早速のリプライ、ありがとうございます
過分なお褒めのお言葉に目尻が下がりまくっていたところ、頭をガツンと殴られるようなご指摘をいただきました

> ちなみに、PT2Kさんが導いた曜日不在リストを眺めていたら、
> 面白いことに気付きました。
> 「平年の31日不在曜日は、その年の元日の曜日から1つだけ前にずれている」(中略)
> 「閏年の31日不在曜日は、その年の元日の曜日と等しい」

考えてみれば、曜日を相対化すれば、カレンダーは平年と閏年の2種類しか存在しないのですね
私も同じ結果の出力を眺めながら、「曜日が規則的に揃ってるな」とまでは気づきながら、平年と閏年とで規則性が違っているため、更に突っ込んで真の法則を考察するにまでは至っておりませんでした
汗顔の至りです

「曜日不在リスト」という造語にも感服しました

閏年は平年より1日多いので、上記の平年と閏年との2つに分れた規則性をより高次に統一する考察も可能かと考えます
もちょっと思索してみようとは思いますが、今日のところはこの辺であっぷあっぷしてしまっています
のんびり考えていきますね

ところで、加藤さんの知見を私のサイトで紹介してもよろしいでしょうか?
勿論、お名前は掲載致しますので…… m(_,_)m


313.Re: 13日の金曜日の謎
名前:加藤一郎    日付:2017/9/21(木) 21:24
> ところで、加藤さんの知見を私のサイトで紹介してもよろしいでしょうか?
> 勿論、お名前は掲載致しますので…… m(_,_)m

もちろん、喜んで!(“知見”と呼ぶには実におこがましいですが・・・)苦笑
私も、自身の各ページに対して頂いた
皆さんからの“知見”(こちらは相応しい呼称です)を
無断で(笑)、ページ末尾に掲載させてもらってます。


314.完成しました
名前:PT2K    日付:2017/9/24(日) 19:48
> “知見”と呼ぶには実におこがましいですが
いえいえ、とんでもない
カレンダーの種類は14種類であるという私の考察に対して、
いや、カレンダーは2種類しかないんだ、
と、パラダイムシフトを起こしたご指摘は「知見」というレベルを越えています
ありがとうございました

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