お久しぶりです、このハンドルネームでお目にかかりますのは。
子供の頃、家が 2 階建で、やはり電灯のスイッチはこのタイプでした。
その仕組みについても 2 階建の場合については何かの本で読んで知っていましたが、それが 3 階建以上の場合に単純に拡張できないことに気付いたのは大人になってからでした。
で、私もしばらくその拡張を考えていました。
私は壁の埋込みスイッチを付けるぐらいは自分ですることがあるのですが、ホームセンターにスイッチを買いに行ったとき、3 路スイッチのすぐ隣に 4 路スイッチを見つけてしまい、自力で到達する前に、おそらく加藤さんが匿名のメールで受け取られたであろう解を知ってしまいました。
でも、それなしに自力で到達することはできなかったような気がします。
それだけですと単に残念なだけなので、論理演算によるモデル化を書き留めておきたいと思います。
ご存知かもしれませんが、2 階建の場合の回路構成は、実は IC の XOR/XNOR 論理回路を実現するためにも使われています。
これは、IC のデータシートに書いてありました。
これをヒントに、2 階建の場合は論理式 X1 XNOR X2 で表せるという考えに至ります。
X1 X2 XOR XNOR
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
式の値は上表の XNOR 欄の値で、1 が点灯、0 が消灯とします。
Xi (i = 1, 2)の値は、i 階のスイッチがどちらに倒れているかに対応させます。
この式は n 階建の場合にも容易に拡張できて、X1 XNOR X2 XNOR … XNOR Xn となります。
このモデルですと、対称な表現になっています。
実際の回路に戻ると XNOR 演算は 4 路スイッチに対応することになると思います。
両端の 3 路スイッチは、4 路スイッチに置換えて 1 端子をつながないでおいても機能的には変わりませんから、実は 4 路スイッチを使えば対称な実現になると言えるかと思います。
普通は、両端には安い 3 路スイッチを使うと思いますが。
最も簡単な 2 階建の場合の 4 路スイッチを使わない回路が紹介されるということが、3 階建以上への拡張を難しくしていますね。
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