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算数・数学の小部屋




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6121．カタラン数？ 返信  引用 
名前：z    日付：11月21日(土) 23時29分
正方形が一行目に五列、二行目に四列、三行目に三列、隙間なく並んでいる。
この正方形の中に１～12の整数を入れていく。そのさい、
同じ行では左側が小さく、右側が大きくなるように入れる。
同じ列では上側が小さく、下側が大きくなるように入れる。
例えば
１４７1012
２５８11
３６９
は題意を満たしている。このような並べ方の総数を求めよ。

教えてください。
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6122．Re: カタラン数？
名前：七    日付：11月22日(日) 8時37分
12個の数を5つ、４つ、3つの3グループに分ける場合の数ですので
12C5・7C4・3C3
でいいと思います。 zaq7a669c05.zaq.ne.jp (122.102.156.5) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; GTB6)

6123．Re: カタラン数？
名前：中川　幸一    日付：11月22日(日) 11時6分
こういう問題は, 具体的に見ていくと解答の方針が立ったりします.
また, 一般化して考えるという方法も手です.

N = i + j + k (i＞j＞k) とおく.
上段には正方形が i 個
中段には正方形が j 個
下段には正方形が k 個
となるように左端を揃えて隙間なく並んでいるとする.
この正方形の中に 1～N までの整数を以下の条件に従い 1 つずつ入れていく.
・同じ行では左側が小さく, 右側が大きくなるように入れる.
・同じ列では上側が小さく, 下側が大きくなるように入れる.
この 2 つの条件を満たすように 1～N を並べる並べ方の総数を f(i, j, k) とする.

今回の場合は 『f(5, 4, 3) を求めよ.』 という問題に帰着されます.



それでは順にこの問題の条件の性質を見ていきましょう.
i＞j＞k＞2 のとき, 数字の配置方法として, 1 と N はどこに配置されるかは容易に分かると思います.
1：上段の左端
N：各段の右端のいずれか
よって, N の配置方法により以下の等式が成り立つことが分かります.
f(i, j, k) = f(i-1, j, k) + f(i, j-1, k) + f(i, j, k-1)
また,
i=j のとき, f(i, i, k) = f(i, i-1, k) + f(i, i, k-1)
j=k のとき, f(i, j, j) = f(i-1, j, j) + f(i, j, j-1)
i=j=k のとき, f(i, i, i) = f(i, i, i-1)
という関係も容易に分かると思います.

あとはこれらの関係を元に順次値を求めていけば求まるはずです.
ちなみに, 初期値として以下のことが容易に分かると思います.
f(1, 1, 1) = 1
f(n-2, 1, 1) = (n-1)(n-2)/2
f(i, j, 1) = f(i-1, j, 1) + f(i, j-1, 1) + f(i, j, 0)
= Σ[a=1 to i](Σ[b=1 to j] f(a, b, 0))
(ただし, f(1, 1, 0) = 1)
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6124．Re: カタラン数？
名前：z    日付：11月22日(日) 13時1分
丁寧な解答ありがとうございました。
ただ、
＞よって, N の配置方法により以下の等式が成り立つことが分かります.
f(i, j, k) = f(i-1, j, k) + f(i, j-1, k) + f(i, j, k-1)
また,
i=j のとき, f(i, i, k) = f(i, i-1, k) + f(i, i, k-1)
j=k のとき, f(i, j, j) = f(i-1, j, j) + f(i, j, j-1)
i=j=k のとき, f(i, i, i) = f(i, i, i-1)
という関係も容易に分かると思います.

の部分がまだ理解できていません。もう少し考えてみたいと思います。 FLH1Age171.hyg.mesh.ad.jp (220.102.54.171) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 6.0; Trident/4.0; SLCC1; .NET CLR 2.0.50727; Media Center PC 5.0; .NET CLR 3.5.30729; OfficeLiveConnector.1.3; OfficeLivePatch.0.0; .NET CLR 3.0.30729)

6116．(untitled) 返信  引用 
名前：あほちん    日付：11月13日(金) 20時11分
なんかパズルのようなものなのですが・・・見当がつきません

問.燃料のガソリン１リットルにつき、１km走れる車がある。また車に補充できる燃料は４０リットルまでである。車にはガソリンをいれることのできる空の容器が乗っている。しかし、出発地点には800リットル燃料がおいてあるが、車に直接燃料を乗せて進むことはできない。
はたして車は最大何km進むことができるだろうか

という問題です・・・少しわかりづらいかもしれませんので先生から出された例を・・・

純粋に進んだら40ｋｍしか進めないが
まず10リットル消費して10km進み、その地点で空の容器にガソリン20リットルをいれてその場に残し、残りの10リットルでスタート地点に戻る
そこで燃料を補充し、また10km進めば、先ほど置いてきた燃料が補充できるので40kmより長く進める


というような作業を工夫して行って距離を稼ぐらしいです・・・・

自分には全く見当がつかないのでよろしくお願いします！！
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6117．Re: (untitled)
名前：七    日付：11月15日(日) 9時32分
まだこんなことしているんですか？ zaq7a669c05.zaq.ne.jp (122.102.156.5) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; GTB6)

6120．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：11月16日(月) 13時34分
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=9673
<a href="">http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=8841
などで色々と考察が行われているようです。
そちらを参考にした方が良いと思われます。
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6115．(untitled) 返信  引用 
名前：数学の世界    日付：11月11日(水) 17時52分
6角形ABCDEFがあります。
AB=BC=AF=EF ∠CBE=∠BCD=∠CDE=∠GHE=90°
BC上にGC=aとなる点Gをとる　またED上にDH=aとなる点Hをとる。
GH上に∠GIC=９°となる点Iをとる。この時のCI=bとする。
BE上にJがあり、AP=2PJ、∠PJE=90°である点Pをとる。（Pは四角形ABEF内にある）
BIとPCの交点をKとしてKからGHに下ろした垂線の長さをcとする。
PK×KC=c(2－b＾2－c)/(1－b＾2/2)＾2
このときa=b＾2/2 が成り立っている時∠PＥＦを求めよ　という問題です
どう取り掛かればいいかも分かりませんでした。
図を言葉で表現したので分かりにくいと思いますが解説よろしくお願いします

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6119．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：11月16日(月) 13時29分
問題に不備はございませんでしょうか？
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6114．確率 返信  引用 
名前：あほ    日付：11月9日(月) 18時49分
独立な確率変数の例X1、X2、…が確率分布P(Xn＝ｊ)＝ｐi(ｊ≧0、ｎ≧1)をもつ
とき、
S_ｎ＝∑(ｋ＝1～ｎ)Xk　(ただしS_0＝Ｏとする)はマルコフ連鎖となることを示し、
その推移行列Pを求めよ。
softbank221046115176.bbtec.net (221.46.115.176)
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6118．Re: 確率
名前：中川　幸一    日付：11月16日(月) 13時19分
http://whs-math.net/math/sec3743.html
を見る限り, この問に関しては解答を答えない方が良さそうな気がしましたので, 少し様子を見させて頂きます。
質問に関しては答えられる範囲で答えさせて頂きます。
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6111．(untitled) 返信  引用 
名前：ai    日付：11月8日(日) 9時5分
大学１年です。　e^(x+y)を３次までマクローリン展開せよ。
解き方を教えて頂けるとありがたいです。
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6112．Re: (untitled)
名前：明智小五郎    日付：11月8日(日) 14時9分
f(x,y)=ex+y とおく。

fx=ex+y, fy=ex+y, fxx=ex+y, ･･･

より、

fx(0,0)=fy(0,0)=fxx(0,0)=･･･=1

となり、

f(0,0)=1

[ D=x(∂/∂x)+y(∂/∂y) とする。]

Df(0,0)=xfx(0,0)+yfy(0,0)=x+y

D2f(0,0)=x2fxx(0,0)+2xyfxy(0,0)+y2fyy(0,0)=(x+y)2

・・・

Dn-1f(0,0)=(x+y)n-1

Dnf(θx,θy)

=xneθx+θy+nxn-1yeθx+θy+･･･

　+nxyn-1eθx+θy+yneθx+θy

=(x+y)neθ(x+y) (0<θ<1)

よって、

ex+y

=1+(x+y)+(1/2!)(x+y)2+･･･

　　+{1/(n-1)!}(x+y)n-1+(1/n!)(x+y)neθ(x+y)

(0<θ<1) 　

◎　３次までだとどうなるかを考えてください。 KHP059143030218.ppp-bb.dion.ne.jp (59.143.30.218) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; YTB720; GTB6)

6113．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：11月8日(日) 16時45分
明智小五郎 さん 回答有り難うございます。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ X081005.ppp.dion.ne.jp (210.234.81.5) Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; ja; rv:1.9.1.5) Gecko/20091102 Firefox/3.5.5

6109．(untitled) 返信  引用 
名前：たまには物理も思い出してあげて下さい    日付：10月10日(土) 2時7分
ここもよくわからない書き込みが増えたね。

怖くて踏んでないけど英語で貼られてるアドレスって数学関係なの？
i114-184-76-60.s04.a015.ap.plala.or.jp (114.184.76.60)
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6110．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：10月10日(土) 3時42分
SMAP だと思います。
以前はもっと多かったのでセキュリティを上げたのですが, やはりもう少し強くしておこうと思います。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ ZB082231.ppp.dion.ne.jp (219.125.82.231) Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; ja; rv:1.9.1.3) Gecko/20090824 Firefox/3.5.3

6095．ガロア理論 返信  引用 
名前：みかん    日付：9月5日(土) 22時36分
大学４年生です。

Q(ζ_5)/Q の中間体をすべて求めよ。ただし、ζ_5 = e^(2πi/5) とする。

教えて下さい(｡￫ˇ艸￩)
KD121108115205.ppp-bb.dion.ne.jp (121.108.115.205)
Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 7.0; Windows NT 5.1; YTB720; GTB6; .NET CLR 1.1.4322)


6096．Re: ガロア理論
名前：おじ    日付：9月7日(月) 11時40分
ガロア群は位数４の巡回群であることまでは教えました。（このことは確認しましたか？）そうすると、位数２の部分群が存在するはずです。その、部分群の不変体はどうなりますか。あちらの補足へどうぞ。 p3178-ipbf501koufu.yamanashi.ocn.ne.jp (219.160.147.178) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1; GTB6; .NET CLR 1.1.4322)

6099．Re: ガロア理論
名前：中川　幸一    日付：9月12日(土) 17時24分
おじ さん アドバイス有り難うございます。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/ X081083.ppp.dion.ne.jp (210.234.81.83) Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; ja; rv:1.9.1.3) Gecko/20090824 Firefox/3.5.3

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